Résoudre un triangle à partir de ses trois côtés
Connaître les trois côtés d’un triangle suffit à déterminer tout le reste : son aire, ses trois angles, ses hauteurs et sa nature. C’est pratique en géométrie, mais aussi pour mesurer un terrain ou une pièce irrégulière, où les longueurs se mesurent facilement alors que les angles et les hauteurs non. Ce calculateur applique la formule de Héron et le théorème d’Al-Kashi à n’importe quel triangle.
Les formules
- Demi-périmètre : p = (a + b + c) ÷ 2.
- Aire, formule de Héron : A = √(p × (p − a) × (p − b) × (p − c)).
- Angles, théorème d’Al-Kashi : cos(Â) = (b² + c² − a²) ÷ (2bc), de même pour B̂, et Ĉ = 180° − Â − B̂.
- Hauteur relative à un côté : h = 2 × aire ÷ ce côté.
- Rayon du cercle inscrit : r = aire ÷ p.
Exemple chiffré : côtés de 7, 8 et 9 cm
- p = (7 + 8 + 9) ÷ 2 = 12.
- Aire = √(12 × 5 × 4 × 3) = √720 = 26,83 cm².
- Â = arccos((64 + 81 − 49) ÷ 144) = arccos(0,667) = 48,19°.
- B̂ = arccos((49 + 81 − 64) ÷ 126) = arccos(0,524) = 58,41°.
- Ĉ = 180 − 48,19 − 58,41 = 73,40°. Les trois angles sont aigus : le triangle est acutangle.
- Périmètre 24 cm, hauteur relative au côté de 9 cm : 2 × 26,83 ÷ 9 = 5,96 cm, rayon du cercle inscrit 2,24 cm.
Effet du côté c (a = 7, b = 8)
| Côté c | Aire | Angle Ĉ |
|---|---|---|
| 2 cm | 6,44 cm² | 13,29° |
| 5 cm | 17,32 cm² | 38,21° |
| 8 cm | 25,18 cm² | 64,06° |
| 9 cm | 26,83 cm² | 73,40° |
| 10,63 cm | 28,00 cm² | 90,00° |
| 14 cm | 18,80 cm² | 137,82° |
L’aire est maximale quand l’angle entre a et b est droit, pour c = √(7² + 8²) = 10,63 cm, puis elle diminue à mesure que le triangle s’aplatit.
La nature d’un triangle
- Selon les côtés : équilatéral (trois côtés égaux, trois angles de 60°), isocèle (deux côtés égaux et deux angles égaux) ou quelconque.
- Selon les angles : acutangle (trois angles aigus), rectangle (un angle droit) ou obtusangle (un angle obtus, de plus de 90°).
Un test rapide, sans trigonométrie : avec c le plus grand côté, comparez c² à a² + b². Plus petit, le triangle est acutangle ; égal, il est rectangle, c’est la réciproque de Pythagore ; plus grand, il est obtusangle.
L’inégalité triangulaire
Trois longueurs ne forment un triangle que si chacune est strictement inférieure à la somme des deux autres. Avec 3, 4 et 8 cm, c’est impossible : 3 + 4 = 7 est inférieur à 8, les deux petits côtés ne peuvent pas se rejoindre. En cas d’égalité, le « triangle » est aplati : ses trois sommets sont alignés et son aire est nulle.
Les autres formules d’aire
- Base et hauteur, la formule du collège : A = base × hauteur ÷ 2.
- Deux côtés et l’angle compris : A = ½ × a × b × sin(Ĉ).
- Coordonnées des sommets : A = ½ × |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|.
Un cas pratique : la surface d’un terrain
Pour mesurer un terrain irrégulier, les géomètres le découpent en triangles, mesurent les côtés de chacun et additionnent les aires calculées avec la formule de Héron. Une parcelle triangulaire de 40, 50 et 60 m couvre ainsi environ 992 m², soit près de 10 ares.