Contar sin enumerar
La combinatoria responde a preguntas del tipo «¿de cuántas maneras…?» sin tener que escribir todas las posibilidades. Todo depende de dos preguntas: si el orden importa y si un mismo elemento puede repetirse. Con esas dos respuestas sabes qué fórmula aplicar.
Las cuatro fórmulas
| Sin repetición | Con repetición | |
|---|---|---|
| El orden no importa (combinaciones) | C(n, k) = n! ÷ (k! (n − k)!) | CR(n, k) = C(n + k − 1, k) |
| El orden importa (variaciones) | V(n, k) = n! ÷ (n − k)! | VR(n, k) = nᵏ |
Las permutaciones son el caso particular en que se ordenan todos los elementos: P(n) = n!. El factorial crece muy deprisa: 10! ya son 3.628.800 y 20! supera los dos trillones.
Ejemplo resuelto
Un club de 10 socios quiere formar una comisión de 3 personas. Como da igual quién se elige primero, se trata de combinaciones: C(10, 3) = 10 × 9 × 8 ÷ (3 × 2 × 1) = 120 comisiones distintas.
Si en cambio los tres elegidos van a ser presidente, secretario y tesorero, el orden sí importa y hay V(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720 juntas posibles: cada comisión puede repartir los cargos de 3! = 6 formas, y 120 × 6 = 720.
Loterías y juegos de azar
La combinatoria explica por qué es tan difícil ganar:
- La Primitiva y el Bonoloto: 6 números de 49 son C(49, 6) = 13.983.816 combinaciones. Una apuesta simple tiene una probabilidad de 0,000007 % de acertar los seis.
- Euromillones: 5 números de 50 y 2 estrellas de 12, C(50, 5) × C(12, 2) = 2.118.760 × 66 = 139.838.160.
- La quiniela: 14 partidos con tres resultados posibles (1, X, 2) son variaciones con repetición, 3¹⁴ = 4.782.969 columnas, sin contar el pleno al 15.
Con repetición
Las variaciones con repetición sirven para códigos y contraseñas: un PIN de 4 cifras tiene 10⁴ = 10.000 posibilidades, y una matrícula española actual, con 4 cifras y 3 letras de un alfabeto de 20 consonantes, admite 10⁴ × 20³ = 80 millones.
Las combinaciones con repetición cuentan elecciones en las que se puede repetir y el orden no importa, como escoger 3 bolas de helado entre 5 sabores pudiendo repetir sabor: C(7, 3) = 35 copas distintas.
Consejos
- Si dudas, pregúntate si intercambiar dos elementos da un resultado distinto. Si es así, el orden importa.
- C(n, k) = C(n, n − k): elegir los 3 que van es lo mismo que elegir los 7 que se quedan.
- Para números grandes la calculadora muestra el resultado en notación científica, ya que muchas cifras no tienen sentido práctico.