Calculer ses chances aux dés
Jeux de société, Yam’s, jeux de rôle : les dés posent sans cesse des questions de probabilités. Quelle est la chance d’obtenir au moins un six, de faire un double, ou que tous les dés montrent la même face ? Le calculateur traite n’importe quel nombre de dés, de 4 à 20 faces, et donne la probabilité qu’au moins k dés, exactement k dés ou aucun dé ne montre une face choisie, ainsi que la moyenne et la dispersion de la somme.
Les formules
Avec n dés à s faces, la probabilité qu’un dé montre une face donnée est 1/s. Le nombre de dés qui la montrent suit une loi binomiale :
- Aucun dé : ((s − 1) ÷ s)^n
- Au moins un : 1 − ((s − 1) ÷ s)^n
- Exactement k : C(n, k) × (1/s)^k × ((s − 1)/s)^(n − k)
- Tous les dés identiques : s^(1 − n)
- Somme moyenne : n × (s + 1) ÷ 2 ; écart type : √(n × (s² − 1) ÷ 12)
Les mêmes formules valent pour un seul dé lancé n fois.
Exemple chiffré : le pari du chevalier de Méré
Au XVIIe siècle, Antoine Gombaud, chevalier de Méré, gagnait régulièrement de l’argent en pariant qu’il obtiendrait au moins un six en quatre lancers d’un dé.
- Probabilité de n’avoir aucun six en quatre lancers : (5/6)⁴ = 48,2 %.
- Probabilité d’au moins un six : 1 − 0,482 = 51,8 %, un avantage faible mais régulier.
- Il paria ensuite sur au moins un double six en 24 lancers de deux dés, en raisonnant par proportionnalité. La vraie probabilité vaut 1 − (35/36)²⁴ = 49,1 %, et il se mit à perdre.
- Sa question, transmise à Blaise Pascal, donna lieu en 1654 à la correspondance entre Pascal et Pierre de Fermat, souvent considérée comme l’acte de naissance du calcul des probabilités.
Au moins un six selon le nombre de dés
| Dés ou lancers | Au moins un six | Aucun six |
|---|---|---|
| 1 | 16,7 % | 83,3 % |
| 2 | 30,6 % | 69,4 % |
| 3 | 42,1 % | 57,9 % |
| 4 | 51,8 % | 48,2 % |
| 6 | 66,5 % | 33,5 % |
| 10 | 83,8 % | 16,2 % |
| 24 | 98,7 % | 1,3 % |
Repères utiles
- Deux dés : la somme 7 est la plus fréquente, 6 chances sur 36 (16,7 %). Un double sort aussi une fois sur six.
- Yam’s d’un seul lancer : cinq dés identiques du premier coup, 6 ÷ 6⁵ = 1 chance sur 1 296. Avec les deux relances autorisées, on passe à environ 4,6 % en gardant toujours la face la plus représentée.
- Un 20 naturel sur un d20 : 5 % ; avec avantage (deux dés, on garde le meilleur), 9,75 %.
- Quatre dés donnent 14 en moyenne, avec un écart type de 3,4 : la plupart des sommes tombent entre 10 et 18.
La somme de plusieurs dés n’est pas uniforme : les valeurs centrales sont bien plus probables que les extrêmes, et avec beaucoup de dés la distribution se rapproche d’une courbe en cloche.