Dos formas de situar un punto
Las coordenadas cartesianas (x, y) dan la posición de un punto por su distancia horizontal y vertical al origen. Las coordenadas polares (r, θ) la dan por su distancia al origen, r, y por el ángulo θ que forma con el semieje x positivo, medido en sentido antihorario. Las polares son más naturales para todo lo que gira o se propaga desde un centro: un radar, un brazo robótico, una órbita o las ondas de una antena.
Las fórmulas
De cartesianas a polares:
r = √(x² + y²) y θ = atan2(y, x)
De polares a cartesianas:
x = r cos θ y y = r sen θ
Ejemplo resuelto
El punto (−3, 4):
- r = √(9 + 16) = 5.
- arctg(4 ÷ −3) da −53,13°, pero el punto está en el segundo cuadrante (x negativo, y positivo), así que hay que sumar 180°: θ = 126,87°, que son 2,2143 radianes.
Y al revés, r = 5 y θ = 30° dan x = 5 × 0,866 = 4,330 e y = 5 × 0,5 = 2,5.
El problema de los cuadrantes
La arcotangente simple solo devuelve ángulos entre −90° y 90°, y no distingue (3, 4) de (−3, −4), que tienen el mismo cociente y ÷ x. La función atan2 usa los signos de x y de y para elegir el cuadrante correcto:
| Cuadrante | Signos | Ángulo |
|---|---|---|
| Primero | x > 0, y > 0 | 0° a 90° |
| Segundo | x < 0, y > 0 | 90° a 180° |
| Tercero | x < 0, y < 0 | −180° a −90° (180° a 270°) |
| Cuarto | x > 0, y < 0 | −90° a 0° (270° a 360°) |
La calculadora da el ángulo en las dos convenciones, de −180° a 180° y de 0° a 360°.
Grados y radianes
En física y en programación los ángulos suelen ir en radianes: 360° = 2π rad, así que se multiplica por π ÷ 180. Un radián son unos 57,3°.
Aplicaciones
- Navegación y topografía: un rumbo y una distancia son coordenadas polares; pasarlas a cartesianas da los desplazamientos hacia el este y el norte.
- Electricidad: los fasores y las impedancias se manejan en forma polar (módulo y ángulo) y en forma binómica.
- Gráficos y videojuegos: girar un objeto alrededor de un punto es sumar un ángulo en polares y volver a cartesianas.
Consejos
- El origen (0, 0) tiene r = 0 y su ángulo no está definido; la calculadora muestra 0°.
- Un radio negativo no se usa aquí: para apuntar en sentido contrario, suma 180° al ángulo.