Qué es la esperanza matemática
La esperanza es el resultado medio que se obtendría si una situación aleatoria se repitiera muchísimas veces. No es lo que va a pasar en una jugada concreta, sino el promedio a largo plazo. Es la herramienta básica para valorar apuestas, juegos, seguros o decisiones con incertidumbre.
Las fórmulas
- Esperanza E(X) = Σ valor × probabilidad.
- Varianza = Σ probabilidad × (valor − E(X))².
- Desviación típica = √varianza.
Las probabilidades deben sumar 100 % si están todos los resultados posibles; la calculadora lo comprueba.
Ejemplo resuelto
Un juego de feria ofrece tres resultados: ganar 100 € con un 10 % de probabilidad, ganar 20 € con un 20 % y perder 10 € con un 70 %:
- Esperanza: 100 × 0,1 + 20 × 0,2 − 10 × 0,7 = 10 + 4 − 7 = 7 € por partida.
- Varianza: 1101.
- Desviación típica: 33,18 €.
De media ganas 7 € por partida, pero el resultado de cada una oscila mucho: casi siempre pierdes 10 € y de vez en cuando ganas un premio grande.
Juegos de azar en España
Todos los juegos de azar públicos y privados tienen esperanza negativa para el jugador: es lo que financia al organizador.
| Juego | Parte de lo apostado que se devuelve en premios, aproximadamente |
|---|---|
| Ruleta europea (un número) | 97,3 % |
| Lotería de Navidad | 70 % |
| Primitiva y Bonoloto | 55 % |
| Euromillones | 50 % |
En la ruleta, una apuesta de 1 € a un número paga 35 € más la apuesta con una probabilidad de 1/37: la esperanza es 36/37 − 1 = −0,027 €, es decir, se pierden 2,7 céntimos por euro apostado de media. Además, los premios de lotería de más de 40.000 € tributan al 20 % sobre el exceso, lo que empeora aún más la esperanza.
Esperanza y decisiones
- Seguros: un seguro tiene esperanza negativa para el asegurado, porque la aseguradora cubre sus gastos y gana dinero. Aun así compensa contra pérdidas que no podrías asumir, como un incendio o una responsabilidad civil grande. Ahí importa la desviación típica, no solo la media.
- Inversiones: dos inversiones con la misma rentabilidad esperada pueden tener riesgos muy distintos.
- Empresas: valorar un proyecto con varios escenarios, optimista, central y pesimista, y sus probabilidades es calcular una esperanza.
Límites
La esperanza solo se cumple a largo plazo. Si un juego tiene esperanza positiva pero puedes arruinarte antes de que el promedio se imponga, no es una buena apuesta para ti. Y las probabilidades tienen que ser reales: una esperanza calculada con probabilidades inventadas no vale nada.
En Latinoamérica y Estados Unidos se habla también de valor esperado o expected value; el cálculo es el mismo en cualquier moneda.