La distribución de los éxitos en n ensayos
La distribución binomial describe cuántos éxitos se obtienen al repetir n veces un mismo experimento con dos resultados posibles. Sirve para preguntas como la probabilidad de que 3 de 10 clientes compren, de que una caja de 20 piezas tenga 2 defectuosas o de acertar 7 preguntas de un test respondiendo al azar. La calculadora da la probabilidad de exactamente k éxitos, como máximo k, como mínimo k, y la media y la desviación típica.
Las fórmulas
P(X = k) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
C(n, k) = n! ÷ (k! × (n − k)!)
Media = n × p
Desviación típica = √(n × p × (1 − p))
Las probabilidades acumuladas se obtienen sumando P(X = k) para todos los valores que interesan.
Ejemplo resuelto: 20 ensayos con un 30 % de éxito
Si cada llamada comercial tiene un 30 % de probabilidad de acabar en venta, en 20 llamadas se esperan 6 ventas de media, con una desviación típica de 2,05. La probabilidad de conseguir exactamente 7 ventas es del 16,4 %, la de conseguir 7 o más es del 39,2 % y la de conseguir 7 como máximo, del 77,2 %.
Las cuatro condiciones
- Número fijo de ensayos, decidido de antemano.
- Dos resultados posibles en cada ensayo.
- Probabilidad de éxito constante de un ensayo a otro.
- Ensayos independientes: el resultado de uno no cambia los demás.
Si sacas cartas de una baraja sin devolverlas, la probabilidad cambia en cada extracción y la binomial deja de ser exacta. En ese caso corresponde la distribución hipergeométrica, aunque la binomial sigue siendo una buena aproximación cuando la población es grande.
Aproximación normal
Cuando n × p y n × (1 − p) superan ambos alrededor de 10, la binomial se parece mucho a una distribución normal con la misma media y la misma desviación típica. Es la base del cálculo del margen de error de las encuestas y de los tests A/B.
Exactamente, como mínimo, como máximo
Fíjate en la pregunta. «Al menos 7» incluye 7, 8, 9 y así hasta n. «Más de 7» empieza en 8. En una distribución discreta, esa diferencia de una unidad cambia el resultado.