Les mathématiques du pile ou face
Une pièce équilibrée tombe sur pile une fois sur deux, mais le comportement sur plusieurs lancers est moins intuitif qu’il n’y paraît. Obtenir exactement 5 piles sur 10 lancers est le résultat le plus probable, et pourtant il ne survient qu’une fois sur quatre environ. Le calculateur donne la probabilité d’obtenir exactement, au moins ou au plus un certain nombre de piles, celle de n’obtenir que des piles et le nombre moyen attendu. Il accepte aussi une pièce truquée.
Les formules
Le nombre de piles suit une loi binomiale de paramètres n (lancers) et p (probabilité de pile) :
- Exactement k piles : C(n, k) × p^k × (1 − p)^(n − k)
- Au moins k piles : 1 − P(au plus k − 1)
- Que des piles : p^n, soit 1 chance sur 2^n pour une pièce équilibrée
- Nombre moyen de piles : n × p
Avec une pièce équilibrée, chaque suite précise de n lancers a exactement la même probabilité, 1 ÷ 2^n. Certains totaux sont plus probables uniquement parce que davantage de suites y mènent.
Exemple chiffré
Vous lancez une pièce équilibrée 10 fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 7 piles ?
- Il existe 2¹⁰ = 1 024 suites équiprobables.
- C(10, 7) = 120 d’entre elles comptent exactement 7 piles.
- P(exactement 7) = 120 ÷ 1 024 = 11,7 %, soit environ 1 chance sur 8,5.
- P(au moins 7) = (120 + 45 + 10 + 1) ÷ 1 024 = 17,2 %.
- P(10 piles de suite) = 1 ÷ 1 024 = 0,098 %.
Dix lancers en un coup d’œil
| Piles | Exactement | Au moins |
|---|---|---|
| 0 | 0,10 % | 100 % |
| 3 | 11,72 % | 94,53 % |
| 4 | 20,51 % | 82,81 % |
| 5 | 24,61 % | 62,30 % |
| 6 | 20,51 % | 37,70 % |
| 7 | 11,72 % | 17,19 % |
| 8 | 4,39 % | 5,47 % |
| 10 | 0,10 % | 0,10 % |
L’erreur du joueur
Après cinq piles d’affilée, beaucoup ont l’impression que face « doit » sortir. C’est faux : la pièce n’a pas de mémoire et le lancer suivant reste à 50 %. On parle d’erreur du joueur, ou d’illusion de la « loi des séries ». À l’inverse, les longues séries sont plus fréquentes qu’on ne le croit : sur 100 lancers, une série d’au moins 6 résultats identiques consécutifs a plus de chances de se produire que l’inverse. Quand on demande à quelqu’un d’inventer une suite « au hasard », il évite justement ces séries, ce qui permet souvent de distinguer une suite inventée d’une suite réelle.
Une pièce est-elle vraiment équilibrée ?
Des travaux de statisticiens de l’université Stanford, puis une vaste expérience portant sur plusieurs centaines de milliers de lancers, ont montré qu’une pièce lancée retombe un peu plus souvent sur la face de départ : environ 51 % des cas. Une pièce qu’on fait tourner sur une table peut être bien plus biaisée, selon la répartition de sa masse. Pour un choix du quotidien, l’effet est négligeable ; pour un tirage au sort qui engage, préférez un générateur aléatoire ou un tirage contrôlé. Vous pouvez simuler une pièce biaisée en modifiant la probabilité de pile.