Contar sucesos raros
La distribución de Poisson, descrita por el matemático francés Siméon Denis Poisson en 1837, da la probabilidad de que ocurra un número determinado de sucesos en un intervalo de tiempo o de espacio, cuando esos sucesos son independientes y ocurren a un ritmo medio constante. Solo necesita un dato: λ, el número medio de sucesos en el intervalo.
La fórmula
P(X = k) = e^(−λ) × λ^k ÷ k!
- La esperanza y la varianza valen las dos λ.
- La desviación típica es √λ.
- Las probabilidades acumuladas se obtienen sumando: P(X ≤ k) = P(0) + P(1) + … + P(k).
Ejemplo resuelto
Un servicio de atención recibe de media 4 llamadas cada cuarto de hora. ¿Qué probabilidad hay de recibir exactamente 2?
- P(X = 2) = e^(−4) × 4² ÷ 2! = 0,0183 × 16 ÷ 2 = 14,65 %.
- Como mucho 2 llamadas: 23,81 %.
- Menos de 2: 9,16 %.
- Al menos 2: 90,84 %.
- Más de 2: 76,19 %.
- Desviación típica: 2 llamadas.
Para dimensionar el servicio, interesa saber cuántas llamadas hay que poder atender con un 95 % de seguridad: con λ = 4, P(X ≤ 7) = 94,9 % y P(X ≤ 8) = 97,9 %, así que hace falta capacidad para unas 8 llamadas por cuarto de hora.
Cuándo se aplica
- Llamadas, correos o clientes por hora.
- Erratas por página de un libro.
- Accidentes en un cruce al año.
- Goles en un partido de fútbol: con una media de 2,7 goles, la probabilidad de un 0 a 0 es e^(−2,7), un 6,7 %.
- Desintegraciones radiactivas por segundo.
- Mutaciones en una secuencia de ADN.
Condiciones
- Independencia: un suceso no hace más ni menos probable el siguiente.
- Ritmo constante: la media no cambia a lo largo del intervalo. Las urgencias de un hospital no siguen una Poisson a lo largo de todo el día, pero sí, aproximadamente, dentro de una franja horaria.
- Sucesos de uno en uno: no pueden ocurrir dos exactamente a la vez.
Si la varianza de los datos reales es mucho mayor que la media, los sucesos se agrupan y conviene usar la distribución binomial negativa.
Aproximación de la binomial
Cuando hay muchas pruebas n y una probabilidad p pequeña, la binomial se aproxima por una Poisson con λ = n × p. Por ejemplo, si un 1 % de las piezas sale defectuoso, el número de defectos en un lote de 300 sigue aproximadamente una Poisson de λ = 3. En bachillerato y en la universidad, en España y en Latinoamérica, se enseña la regla de usarla con n ≥ 20 y p ≤ 0,05.
Relación con la exponencial
Si los sucesos siguen una Poisson, el tiempo entre dos sucesos sigue una distribución exponencial: con 4 llamadas por cuarto de hora, la espera media entre llamadas es de 3,75 minutos.