Modelar tiempos de espera
La distribución exponencial describe el tiempo que pasa entre sucesos que ocurren al azar a un ritmo medio constante: llamadas a un centro de atención, llegadas de clientes a una ventanilla, averías de componentes electrónicos o desintegraciones de un núcleo radiactivo. Solo necesita un parámetro, λ, el número medio de sucesos por unidad de tiempo, o su inversa, la duración media.
Las fórmulas
- P(X ≤ x) = 1 − e^(−λx): probabilidad de que el suceso ocurra antes de x.
- P(X > x) = e^(−λx): probabilidad de esperar más de x.
- P(x₁ ≤ X ≤ x₂) = e^(−λx₁) − e^(−λx₂).
- Media = 1/λ; mediana = ln 2 ÷ λ; percentil 90 = ln 10 ÷ λ.
Ejemplo resuelto
En una ventanilla llega de media un cliente cada 10 minutos, así que λ = 0,1 por minuto:
- Probabilidad de que llegue alguien en los próximos 5 minutos: 1 − e^(−0,5) = 39,35 %.
- Probabilidad de esperar más de 5 minutos: 60,65 %.
- Probabilidad de que el siguiente llegue entre el minuto 5 y el 15: 38,34 %.
- Mediana: 6,9 minutos; la mitad de las esperas son más cortas.
- Percentil 90: 23 minutos; solo una de cada diez esperas es más larga.
La falta de memoria
La propiedad más curiosa de la distribución exponencial es que no tiene memoria: si llevas 10 minutos esperando, la probabilidad de esperar 5 minutos más es la misma que al principio. El tiempo ya pasado no «acerca» el siguiente suceso.
Esto la hace adecuada para fallos aleatorios, como los de muchos componentes electrónicos durante su vida útil, pero no para el desgaste: un neumático o una persona mayor sí tienen más probabilidad de fallar cuanto más tiempo llevan funcionando. Para esos casos se usa la distribución de Weibull.
Relación con la distribución de Poisson
Si los sucesos llegan según una distribución de Poisson con media λ por unidad de tiempo, el tiempo entre dos sucesos sigue una exponencial con el mismo λ. Son dos caras del mismo proceso: Poisson cuenta cuántos sucesos hay en un intervalo; la exponencial mide cuánto tiempo pasa entre ellos.
Aplicaciones
- Colas: dimensionar cajas de supermercado, centralitas o servidores informáticos.
- Fiabilidad: el MTBF (tiempo medio entre fallos) de un equipo es la media de una exponencial. Con un MTBF de 50.000 horas, la probabilidad de fallar en el primer año de uso continuo es de un 16 %.
- Física: la semivida de un isótopo radiactivo es la mediana de su distribución exponencial.
Por qué la mediana es menor que la media
La distribución es muy asimétrica: hay muchas esperas cortas y unas pocas muy largas que tiran de la media hacia arriba. La mediana es siempre un 69 % de la media. En bachillerato, en España y en Latinoamérica, suele estudiarse junto a la distribución normal como ejemplo de distribución continua.