Extracciones sin devolver
La distribución hipergeométrica calcula probabilidades cuando se sacan elementos de un conjunto finito sin devolverlos: cartas de una baraja, bolas de un bombo, piezas de un lote o personas de una lista. Como cada extracción cambia la composición de lo que queda, las probabilidades no son independientes y la distribución binomial no sirve.
Los parámetros
- N: tamaño de la población.
- K: número de éxitos en la población.
- n: número de extracciones.
- k: número de éxitos que queremos obtener.
La fórmula
P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) ÷ C(N, n)
donde C(a, b) es el número de combinaciones de a elementos tomados de b en b. La media es n × K ÷ N.
Ejemplo resuelto: póquer
¿Qué probabilidad hay de recibir exactamente un as en una mano de 5 cartas de una baraja francesa de 52, que tiene 4 ases?
- Formas de elegir 1 as de 4: C(4, 1) = 4.
- Formas de elegir 4 cartas que no son ases de 48: C(48, 4) = 194.580.
- Manos posibles: C(52, 5) = 2.598.960.
- P(X = 1) = 4 × 194.580 ÷ 2.598.960 = 29,95 %.
- Probabilidad de al menos un as: 34,12 %; de dos o más: 4,17 %.
Ejemplo: la Primitiva y la Bonoloto
En la Primitiva se eligen 6 números de 49 y se sortean 6. Con N = 49, K = 6, n = 6:
| Aciertos | Probabilidad |
|---|---|
| 3 | 1,77 % (1 entre 57) |
| 4 | 0,097 % (1 entre 1032) |
| 5 | 0,0018 % (1 entre 54.201) |
| 6 | 1 entre 13.983.816 |
En el Euromillones hay dos sorteos independientes, 5 de 50 y 2 estrellas de 12, y la probabilidad final se obtiene multiplicando las dos hipergeométricas.
Control de calidad
Un lote de 200 piezas tiene 10 defectuosas. Si inspeccionas 20 piezas al azar, la probabilidad de no encontrar ninguna defectuosa es de un 34 %. Los planes de muestreo industrial usan este cálculo para decidir cuántas piezas inspeccionar antes de aceptar un lote.
Diferencia con la binomial
La binomial supone que la probabilidad de éxito es la misma en cada extracción, como si se devolviera cada elemento. Si la población es grande frente a la muestra, por ejemplo extraer 20 de 100.000, las dos distribuciones dan casi lo mismo y la binomial es más cómoda. Con poblaciones pequeñas, como una baraja, la diferencia importa.
La baraja española de 40 cartas sirve igual: con 4 ases de 40 y una mano de 5, introduce N = 40, K = 4 y n = 5.