La campana de Gauss
La distribución normal, o campana de Gauss, describe muchas magnitudes que se reparten de forma simétrica alrededor de una media: el peso de un producto envasado, las estaturas de una población o los errores de una medición. Basta con conocer la media y la desviación típica para calcular la probabilidad de que un valor quede por debajo de un límite, por encima de otro o entre los dos.
Las fórmulas
Puntuación z = (x − media) ÷ desviación típica
P(X < a) = Φ(zₐ)
P(X > b) = 1 − Φ(z_b)
P(a < X < b) = Φ(z_b) − Φ(zₐ)
Φ es la función de distribución de la normal estándar, de media 0 y desviación típica 1.
Ejemplo resuelto: botellas de 500 ml
Una máquina llena botellas con una media de 500 ml y una desviación típica de 4 ml. ¿Qué parte de las botellas tiene entre 492 y 508 ml? Los dos límites están a 2 desviaciones típicas de la media (z = −2 y z = 2), así que el 95,45 % de las botellas queda dentro y un 2,28 % por cada lado. Si se estrecha el rango a 496–504 ml, solo el 68,3 % de las botellas cumple.
La regla 68-95-99,7
| Distancia a la media | Parte de los valores |
|---|---|
| ±1 desviación típica | 68,3 % |
| ±2 desviaciones típicas | 95,4 % |
| ±3 desviaciones típicas | 99,7 % |
Es una forma rápida de saber si un valor es habitual o excepcional sin hacer cálculos.
Usos habituales
- Control de calidad: qué parte de la producción queda fuera de las tolerancias.
- Educación: qué parte de los alumnos supera una nota en una prueba con distribución conocida.
- Salud: los valores de referencia de muchos análisis clínicos se fijan en la franja central del 95 % de la población sana.
- Finanzas: algunas medidas de riesgo suponen rendimientos normales, aunque en la práctica los mercados tienen colas más gruesas.
Cuidado con las colas
La distribución normal subestima los valores extremos de muchos fenómenos reales. Un acontecimiento a 5 desviaciones típicas debería ser casi imposible, pero en los mercados financieros o en los fenómenos meteorológicos ocurre más a menudo de lo que la campana predice. Antes de usar la normal, comprueba con un histograma que los datos se le parecen.