Qué es un número complejo
Un número complejo tiene la forma z = a + bi, donde a es la parte real, b la parte imaginaria e i la unidad imaginaria, que cumple i² = −1. Se representan como puntos del plano complejo: la parte real en el eje horizontal y la imaginaria en el vertical. Aparecen en electricidad (impedancias), en señales y ondas, en mecánica cuántica y al resolver ecuaciones de segundo grado con discriminante negativo.
Operaciones básicas
Para z₁ = a + bi y z₂ = c + di:
- Suma: (a + c) + (b + d)i
- Resta: (a − c) + (b − d)i
- Producto: (ac − bd) + (ad + bc)i
- Cociente: [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)
La división se hace multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador, c − di, de modo que el denominador queda real.
Ejemplo resuelto
Con z₁ = 3 + 4i y z₂ = 1 − 2i:
- suma: 4 + 2i;
- producto: (3 × 1 − 4 × (−2)) + (3 × (−2) + 4 × 1)i = 11 − 2i;
- cociente: (3 + 4i)(1 + 2i) ÷ (1 + 4) = (−5 + 10i) ÷ 5 = −1 + 2i.
El producto 11 − 2i tiene módulo √(121 + 4) = 11,18 y argumento −10,30°.
Módulo y argumento
El módulo |z| = √(a² + b²) es la distancia del punto al origen. El argumento es el ángulo con el semieje real positivo, entre −180° y 180°, calculado con atan2 para que quede en el cuadrante correcto.
Con ellos se escribe la forma polar o trigonométrica, z = |z| (cos θ + i sen θ), o la forma exponencial z = |z| e^(iθ). En esta forma el producto es muy sencillo: se multiplican los módulos y se suman los argumentos. Así, el módulo de 11 − 2i es 5 × √5, el producto de los módulos de 3 + 4i (5) y de 1 − 2i (√5).
Aplicación en electricidad
En corriente alterna, una resistencia de 30 Ω en serie con una bobina de reactancia 40 Ω forma la impedancia Z = 30 + 40i Ω (los ingenieros suelen escribir j en lugar de i). Su módulo, 50 Ω, fija la intensidad: con 230 V circulan 4,6 A. El argumento, 53,13°, es el desfase entre tensión y corriente, del que sale el factor de potencia cos φ = 0,6.
Consejos
- Una parte imaginaria negativa se introduce con su signo: 1 − 2i es c = 1, d = −2.
- Dividir entre 0 + 0i no está definido; la calculadora lo indica.
- El argumento de un número real negativo es 180°, y el de un imaginario puro positivo, 90°.