Une réponse surprenante
Combien faut-il de personnes dans une pièce pour avoir plus d’une chance sur deux que deux d’entre elles soient nées le même jour de l’année ? La plupart des gens répondent environ 180. La bonne réponse est 23.
Pourquoi
La question ne porte pas sur le fait que quelqu’un partage votre anniversaire, mais sur le fait que deux personnes quelconques en partagent un. Avec 23 personnes, il existe 23 × 22 ÷ 2 = 253 paires, et chaque paire est une occasion de coïncidence.
La formule
Il est plus simple de calculer la probabilité que tous les anniversaires soient différents :
P(tous différents) = 365 × 364 × … × (365 − n + 1) ÷ 365ⁿ
puis P(au moins une date commune) = 1 − P(tous différents).
Exemple chiffré
Pour 23 personnes :
- P(tous différents) = 365 × 364 × … × 343 ÷ 365²³ ≈ 49,27 %.
- P(date commune) = 1 − 49,27 % ≈ 50,73 %.
- Probabilité que quelqu’un partage votre anniversaire : 1 − (364 ÷ 365)²² ≈ 5,86 %.
Probabilités selon la taille du groupe
| Personnes | Probabilité d’une date commune |
|---|---|
| 10 | 11,7 % |
| 20 | 41,1 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 40 | 89,1 % |
| 50 | 97,0 % |
| 70 | 99,9 % |
Dans une classe de 30 élèves, il y a donc environ 7 chances sur 10 que deux élèves fêtent leur anniversaire le même jour.
Au-delà des anniversaires
Le même calcul s’applique dès que des éléments sont répartis au hasard dans un nombre limité de cases. Le calculateur permet de remplacer 365 par n’importe quel nombre de cases.
- Sécurité informatique : l’« attaque des anniversaires » trouve deux entrées ayant la même empreinte bien plus vite qu’on ne le croirait. Une fonction de hachage à 2ⁿ valeurs possibles ne demande qu’environ 2^(n/2) essais, d’où des empreintes d’au moins 256 bits.
- Loteries : les combinaisons gagnantes répétées au fil de nombreux tirages sont bien plus fréquentes que l’intuition ne le suggère.
- Données : des identifiants aléatoires trop courts entrent en collision plus tôt que prévu.
Une approximation pratique : pour 50 % de chances de collision, il faut environ √(2 × d × ln 2) ≈ 1,18 × √d éléments, d étant le nombre de valeurs possibles.
Les hypothèses
Le calcul suppose 365 jours équiprobables et ignore le 29 février et les jumeaux. Les naissances réelles ne sont pas réparties uniformément sur l’année, ce qui rend les anniversaires communs un peu plus probables que ne l’indique la formule.