Un resultado que sorprende
¿Cuántas personas tiene que haber en una sala para que sea más probable que improbable que dos cumplan años el mismo día? La mayoría responde un número cercano a 180, la mitad de 365. La respuesta es 23. Por eso se habla de paradoja, aunque no hay ninguna contradicción: solo una intuición que se equivoca.
Cómo se calcula
Es más fácil calcular lo contrario: la probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos.
- La primera persona puede nacer cualquier día: 365/365.
- La segunda debe evitar ese día: 364/365.
- La tercera debe evitar dos días: 363/365, y así sucesivamente.
P(todos distintos) = 365 × 364 × … × (365 − n + 1) ÷ 365ⁿ
P(al menos una coincidencia) = 1 − P(todos distintos)
Ejemplo resuelto
En una clase de 23 alumnos:
- Parejas posibles: 23 × 22 ÷ 2 = 253.
- Probabilidad de que todos los cumpleaños sean distintos: 49,27 %.
- Probabilidad de al menos una coincidencia: 50,73 %.
- Probabilidad de que alguien comparta tu cumpleaños: 1 − (364/365)²² = 5,86 %.
La clave está en las parejas
La intuición piensa en una persona frente a las demás: tú y otras 22. Pero la pregunta es sobre cualquier pareja del grupo, y con 23 personas hay 253 parejas. Cada una tiene una probabilidad pequeña de coincidir, pero son muchas oportunidades.
| Personas | Probabilidad de coincidencia |
|---|---|
| 10 | 11,7 % |
| 23 | 50,7 % |
| 30 | 70,6 % |
| 50 | 97,0 % |
| 70 | 99,9 % |
En un equipo de fútbol con su cuerpo técnico, o en una boda con 50 invitados, lo raro es que no haya dos personas que cumplan años el mismo día.
Otras aplicaciones
El mismo razonamiento sirve para cualquier número de casillas, no solo 365. La calculadora permite cambiarlo:
- Informática: el «ataque del cumpleaños» explota que es mucho más fácil encontrar dos mensajes con la misma huella criptográfica que encontrar uno con una huella concreta.
- Lotería: en sorteos semanales, que se repita alguna combinación ganadora a lo largo de los años es menos raro de lo que parece.
- Datos: la probabilidad de que dos registros reciban el mismo identificador aleatorio crece muy deprisa con el número de registros.
Una regla rápida: con d casillas, hace falta alrededor de 1,18 × √d elementos para tener un 50 % de probabilidad de coincidencia.
Un matiz
El cálculo supone que todos los días son igual de probables y deja fuera el 29 de febrero. En la realidad los nacimientos no se reparten de forma uniforme, porque hay meses con más nacimientos y menos partos programados en festivos, así que las coincidencias son un poco más probables de lo calculado.