Le PGCD et le PPCM
Le PGCD (plus grand commun diviseur) de deux nombres entiers est le plus grand entier qui les divise tous les deux exactement. Le PPCM (plus petit commun multiple) est le plus petit entier positif divisible par les deux. Le PGCD sert à simplifier une fraction pour la rendre irréductible. Le PPCM donne le dénominateur commun et indique quand deux cycles se retrouvent en phase.
Comment on les calcule
L’algorithme d’Euclide, au programme de 3e, trouve le PGCD rapidement. On divise le plus grand nombre par le plus petit, on remplace le plus grand par le reste, et on recommence jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.
Pour 18 et 12 : 18 = 1 × 12 + 6, puis 12 = 2 × 6 + 0, donc PGCD = 6.
Le PPCM se déduit du PGCD : PPCM(a, b) = a × b ÷ PGCD(a, b). Pour un troisième nombre, on applique les mêmes règles : PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c), et de même pour le PPCM.
Exemple : 12, 18 et 30
- PGCD(12, 18) = 6, puis PGCD(6, 30) = 6.
- PPCM(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, puis PPCM(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- La fraction 12/18 se simplifie en 2/3 en divisant ses deux termes par 6.
- Vérification : PGCD × PPCM de 12 et 18 = 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
Avec la décomposition en facteurs premiers
On peut aussi décomposer chaque nombre : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², 30 = 2 × 3 × 5. Le PGCD prend les facteurs communs avec leur plus petit exposant (2 × 3 = 6). Le PPCM prend tous les facteurs avec leur plus grand exposant (2² × 3² × 5 = 180).
PGCD et PPCM de 12 avec d’autres nombres
| Second nombre | PGCD | PPCM |
|---|---|---|
| 4 | 4 | 12 |
| 8 | 4 | 24 |
| 9 | 3 | 36 |
| 15 | 3 | 60 |
| 25 | 1 | 300 |
Quand le PGCD vaut 1, les nombres sont premiers entre eux, et leur PPCM est simplement leur produit.
À quoi ça sert
- Additionner des fractions : 1/12 + 1/18 se calcule avec le dénominateur commun 36 : 3/36 + 2/36 = 5/36.
- Horaires : deux bus qui passent toutes les 12 et 18 minutes repartent ensemble toutes les 36 minutes.
- Carrelage et découpe : le plus grand carreau carré qui couvre une surface de 120 × 180 cm sans coupe mesure 60 cm, le PGCD.
- Engrenages : deux roues de 12 et 18 dents reviennent à leur position de départ après 36 dents.
- Partages : pour faire le plus grand nombre de lots identiques avec 12 croissants et 18 pains au chocolat, on fait 6 lots de 2 croissants et 3 pains au chocolat.