La division euclidienne
Quand un entier n’en divise pas un autre exactement, la division laisse un reste. La division euclidienne écrit tout dividende a et tout diviseur b non nul sous la forme a = b × q + r, où q est le quotient et r le reste, avec 0 ≤ r < |b|. C’est la division posée apprise à l’école primaire, et c’est aussi l’opération « modulo » utilisée en programmation, pour les calendriers et les horloges.
Exemple : 47 divisé par 5
- Dans 47, combien de fois 5 ? 9 fois, car 5 × 9 = 45.
- Reste : 47 − 45 = 2.
- Donc 47 = 5 × 9 + 2 : quotient 9, reste 2.
- En écriture décimale, 47 ÷ 5 = 9,4 ; en fraction, 47/5 = 9 + 2/5.
Nombres négatifs et langages de programmation
Avec des nombres négatifs, les conventions diffèrent :
- La division euclidienne garde un reste positif : −7 = 5 × (−2) + 3, le reste vaut 3.
- La division tronquée, celle de l’opérateur % en C, C++, Java et JavaScript, arrondit le quotient vers zéro : −7 % 5 = −2.
- La division plancher, celle de l’opérateur % de Python et de la fonction MOD d’Excel et de LibreOffice, donne un reste du signe du diviseur : −7 % 5 = 3, et 7 % −5 = −3.
Le calculateur affiche les trois résultats pour vérifier ce que renverra votre code.
Résultats pour d’autres dividendes (diviseur 5)
| Dividende | Quotient | Reste | Décimal |
|---|---|---|---|
| −7 | −2 | 3 | −1,4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 2 | 1,4 |
| 47 | 9 | 2 | 9,4 |
| 100 | 20 | 0 | 20 |
| 365 | 73 | 0 | 73 |
Le reste au quotidien
- Rangement : 47 œufs en boîtes de 6 remplissent 7 boîtes et il en reste 5.
- Calendrier : 100 jours après un lundi, on est un mercredi, car 100 = 7 × 14 + 2.
- Horloge : 30 heures après 9 h, il est 15 h le lendemain, car (9 + 30) modulo 24 = 15.
- Pair ou impair : un nombre est pair quand son reste dans la division par 2 vaut 0.
- Critères de divisibilité : un nombre est divisible par 3 ou par 9 quand la somme de ses chiffres l’est.
- Clés de contrôle : la clé du numéro de sécurité sociale vaut 97 moins le reste de la division du numéro par 97. L’IBAN et la clé RIB reposent aussi sur le modulo 97 pour détecter les fautes de frappe.
Reste et fractions
Le reste divisé par le diviseur donne la partie décimale : 2 ÷ 5 = 0,4. Pour savoir si b divise a, il suffit de vérifier que le reste est nul : on dit alors que a est un multiple de b. La division par 0 n’est pas définie, et le calculateur refuse un diviseur nul.