Qué son el MCD y el mcm
El máximo común divisor (MCD) de dos números enteros es el mayor número que divide a ambos de forma exacta. El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor número positivo que es múltiplo de los dos. El MCD sirve para simplificar fracciones hasta dejarlas irreducibles; el mcm da el denominador común para sumar fracciones e indica cuándo dos ciclos vuelven a coincidir.
Cómo se calculan
El algoritmo de Euclides, que se estudia en el primer ciclo de la ESO, encuentra el MCD muy deprisa. Se divide el número mayor entre el menor, se sustituye el mayor por el resto y se repite hasta que el resto sea cero. El último resto distinto de cero es el MCD.
Para 18 y 12: 18 = 1 × 12 + 6, y después 12 = 2 × 6 + 0. Por tanto, MCD = 6.
El mcm se obtiene a partir del MCD: mcm(a, b) = a × b ÷ MCD(a, b). Con un tercer número se aplican las mismas reglas por pasos: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c), y lo mismo para el mcm.
Ejemplo resuelto: 12, 18 y 30
- MCD(12, 18) = 6, y después MCD(6, 30) = 6.
- mcm(12, 18) = 12 × 18 ÷ 6 = 36, y después mcm(36, 30) = 36 × 30 ÷ 6 = 180.
- La fracción 12/18 se simplifica a 2/3 dividiendo sus dos términos entre 6.
- Comprobación: MCD × mcm de 12 y 18 = 6 × 36 = 216 = 12 × 18.
Con la descomposición en factores primos
También se puede descomponer cada número: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3² y 30 = 2 × 3 × 5.
- El MCD toma los factores comunes con el menor exponente: 2 × 3 = 6.
- El mcm toma todos los factores, comunes y no comunes, con el mayor exponente: 2² × 3² × 5 = 180.
Es el método que suele pedirse en los ejercicios del colegio, aunque con números grandes Euclides es mucho más rápido.
MCD y mcm de 12 con otros números
| Segundo número | MCD | mcm |
|---|---|---|
| 4 | 4 | 12 |
| 8 | 4 | 24 |
| 9 | 3 | 36 |
| 15 | 3 | 60 |
| 25 | 1 | 300 |
Cuando el MCD es 1, los números son primos entre sí y su mcm es simplemente su producto.
Para qué sirve en la vida real
- Sumar fracciones: 1/12 + 1/18 se calcula con el denominador común 36: 3/36 + 2/36 = 5/36.
- Horarios: dos autobuses que pasan cada 12 y cada 18 minutos vuelven a coincidir cada 36 minutos.
- Baldosas: la baldosa cuadrada más grande que cubre un suelo de 120 × 180 cm sin cortes mide 60 cm, el MCD.
- Engranajes: dos ruedas de 12 y 18 dientes vuelven a su posición inicial tras 36 dientes.
- Repartos: con 12 croissants y 18 napolitanas, el mayor número de lotes iguales es 6, con 2 croissants y 3 napolitanas cada uno.
Errores frecuentes
- Confundir los dos conceptos: el MCD es siempre menor o igual que el menor de los números, y el mcm es siempre mayor o igual que el mayor.
- Olvidar algún factor no común al calcular el mcm por descomposición.
- Multiplicar los números sin dividir entre el MCD, lo que da un múltiplo común, pero no el mínimo.