Los polígonos regulares
Un polígono regular tiene todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales. Lo son el triángulo equilátero, el cuadrado, el pentágono regular, el hexágono de las celdas de un panal o de las tuercas y el octógono de la señal de STOP. Gracias a esa simetría, basta con conocer el número de lados y la longitud de uno de ellos para calcularlo todo.
Las fórmulas
Para n lados de longitud s (ángulos en grados):
- Perímetro = n × s
- Apotema (distancia del centro al punto medio de un lado, radio de la circunferencia inscrita) = s ÷ (2 × tan(180° ÷ n))
- Área = perímetro × apotema ÷ 2
- Radio de la circunferencia circunscrita (del centro a un vértice) = s ÷ (2 × sen(180° ÷ n))
- Ángulo interior = (n − 2) × 180° ÷ n; ángulo exterior = 360° ÷ n
- Suma de los ángulos interiores = (n − 2) × 180°
- Número de diagonales = n × (n − 3) ÷ 2
Ejemplo resuelto: un hexágono de 10 cm de lado
- Perímetro: 6 × 10 = 60 cm.
- Apotema: 10 ÷ (2 × tan 30°) = 8,66 cm.
- Área: 60 × 8,66 ÷ 2 = 259,81 cm².
- Radio de la circunferencia circunscrita: 10 ÷ (2 × sen 30°) = 10 cm. En el hexágono regular el radio es igual al lado, porque la figura se divide en seis triángulos equiláteros.
- Ángulo interior: 4 × 180 ÷ 6 = 120°. La suma de los ángulos es 720° y tiene 9 diagonales.
- De vértice a vértice opuesto mide 20 cm; entre dos lados opuestos, 2 × 8,66 = 17,32 cm. Esa segunda medida es la que fija el tamaño de la llave para una tuerca.
Mismo lado de 10 cm, otros polígonos
| Polígono | Lados | Área | Ángulo interior | Radio circunscrito |
|---|---|---|---|---|
| Triángulo equilátero | 3 | 43,30 | 60° | 5,774 |
| Cuadrado | 4 | 100,00 | 90° | 7,071 |
| Pentágono | 5 | 172,05 | 108° | 8,507 |
| Hexágono | 6 | 259,81 | 120° | 10,000 |
| Octógono | 8 | 482,84 | 135° | 13,066 |
| Decágono | 10 | 769,42 | 144° | 16,180 |
| Dodecágono | 12 | 1119,62 | 150° | 19,319 |
Cuantos más lados tiene, más se parece el polígono a un círculo, y su área se acerca a π × r².
Aplicaciones prácticas
- Carpintería: un marco o una mesa octogonal necesita cortes a inglete de 22,5°, la mitad del ángulo exterior de 45°.
- Quioscos, jardineras y pérgolas: el radio circunscrito da el espacio que ocupa en el suelo, y la apotema la distancia del centro a cada pared.
- Suelos: solo el triángulo, el cuadrado y el hexágono cubren un suelo por sí solos, porque su ángulo interior divide exactamente 360°. Es el principio de las baldosas hexagonales de barro, tan típicas en las casas antiguas.
- El pentágono y el número áureo: en un pentágono regular, una diagonal dividida entre un lado da φ ≈ 1,618.
Errores frecuentes
- Confundir la apotema con el radio: la apotema va al centro de un lado; el radio, a un vértice.
- Usar la calculadora en radianes cuando la fórmula está en grados.
- Aplicar la fórmula a un polígono irregular: para esos, divide la figura en triángulos.