Cara o cruz, una y otra vez
Lanzar una moneda es el ejemplo más sencillo de azar: dos resultados igual de probables. Cuando se lanza varias veces, las preguntas se complican: ¿qué probabilidad hay de sacar 7 caras de 10? ¿Y al menos 7? La calculadora aplica la distribución binomial con la probabilidad de cara que elijas, 50 % para una moneda equilibrada.
Las fórmulas
P(exactamente k caras) = C(n, k) × pᵏ × (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
P(solo caras) = pⁿ
Número medio de caras = n × p
Con una moneda equilibrada, p = 0,5 y la fórmula se simplifica: P(k caras) = C(n, k) ÷ 2ⁿ.
Ejemplo resuelto: 7 caras en 10 lanzamientos
Hay 120 maneras de colocar 7 caras entre 10 lanzamientos y 1024 resultados posibles en total, así que la probabilidad de exactamente 7 caras es de 120 ÷ 1024, un 11,7 %, más o menos 1 posibilidad entre 8,5. La de sacar 7 caras o más es del 17,2 %. La de sacar solo caras, 1 entre 1024.
Lo que dice la ley de los grandes números
Con pocos lanzamientos, el porcentaje de caras puede alejarse mucho del 50 %. Con muchos, se acerca. Pero la diferencia en número de caras puede crecer: en 10.000 lanzamientos es normal acabar con 50 o 100 caras más que cruces. Lo que se estabiliza es el porcentaje, no la diferencia.
La falacia del jugador
Después de cinco cruces seguidas, mucha gente cree que «toca» cara. No es así: cada lanzamiento es independiente y la probabilidad sigue siendo del 50 %. La racha anterior no cambia nada. El mismo error aparece en la ruleta, en la lotería y en las apuestas.
¿Son justas las monedas?
Algunos estudios con cientos de miles de lanzamientos han encontrado que una moneda tiende a caer ligeramente más veces por la cara que tenía hacia arriba al lanzarla, con una probabilidad cercana al 51 %. Para un sorteo cotidiano la diferencia es despreciable, pero ilustra por qué el campo de probabilidad de la calculadora es ajustable.
Usos
Además de para juegos y sorteos, el ejemplo de la moneda sirve para entender los conceptos básicos de probabilidad y estadística: rachas, variabilidad, contrastes de hipótesis y el tamaño de muestra necesario para detectar una moneda trucada.