Qué es un sistema de ecuaciones lineales
Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones de primer grado que deben cumplirse a la vez. Con dos incógnitas, cada ecuación es una recta del plano y la solución es el punto donde se cortan; con tres, cada ecuación es un plano del espacio. Estos sistemas aparecen en problemas de mezclas, de repartos, de circuitos eléctricos o de equilibrio de fuerzas.
La regla de Cramer
Si el determinante D de la matriz de coeficientes no es cero, cada incógnita se obtiene como cociente de dos determinantes:
x = Dₓ ÷ D, y = Dᵧ ÷ D, z = D_z ÷ D
Dₓ es el determinante de la matriz en la que la columna de x se sustituye por los términos independientes, y lo mismo para las demás incógnitas.
Ejemplo con dos incógnitas
2x + 3y = 13 y x − y = −1.
- D = 2 × (−1) − 3 × 1 = −5
- Dₓ = 13 × (−1) − 3 × (−1) = −10, así que x = −10 ÷ −5 = 2
- Dᵧ = 2 × (−1) − 13 × 1 = −15, así que y = −15 ÷ −5 = 3
Comprobación: 2 × 2 + 3 × 3 = 13 y 2 − 3 = −1.
Ejemplo con tres incógnitas
Con los valores por defecto (2x + 3y − z = 13, x − y + 2z = −1, x + y + z = 6), el determinante del sistema es −5 y la solución es x = 1, y = 4 y z = 1. Puedes comprobarlo sustituyendo en cualquiera de las tres ecuaciones.
Cuando el determinante es cero
Según el teorema de Rouché-Frobenius, un sistema puede ser:
- compatible determinado: una única solución (D ≠ 0);
- compatible indeterminado: infinitas soluciones, porque una ecuación es combinación de las otras (las rectas coinciden);
- incompatible: ninguna solución, porque las ecuaciones se contradicen (rectas paralelas).
Los dos últimos casos tienen D = 0. La calculadora lo señala, y para distinguirlos hay que comparar el rango de la matriz de coeficientes con el de la matriz ampliada.
Consejos
- Pasa todas las incógnitas al primer miembro y los números al segundo antes de introducirlos.
- Si a una ecuación le falta una incógnita, su coeficiente es 0.
- Con decimales o fracciones, los resultados pueden mostrar pequeñas diferencias de redondeo; comprueba siempre sustituyendo.
- Para sistemas de más de tres ecuaciones, el método de Gauss es más práctico que Cramer.