Cambiar de opinión con datos
El teorema de Bayes, formulado por el reverendo Thomas Bayes en el siglo XVIII, responde a una pregunta muy práctica: ¿cuánto debe cambiar lo que creo después de ver una prueba nueva? Parte de una probabilidad inicial, la a priori, y la combina con lo probable que es el indicio observado si la hipótesis es cierta y si es falsa. El resultado es la probabilidad a posteriori.
La fórmula
P(A | B) = P(B | A) × P(A) ÷ P(B)
con P(B) = P(B | A) × P(A) + P(B | no A) × (1 − P(A)), la probabilidad total de observar el indicio.
La calculadora da también P(A | no B), la probabilidad de la hipótesis si el indicio no aparece, y la razón de verosimilitud, que dice cuánto pesa el indicio.
Ejemplo resuelto: una prueba médica
Una enfermedad afecta al 1 % de la población. Una prueba la detecta en el 90 % de los enfermos, pero da positivo en el 9 % de las personas sanas. Si das positivo, ¿qué probabilidad tienes de estar enfermo?
- P(B) = 0,9 × 0,01 + 0,09 × 0,99 = 9,81 % de positivos.
- P(A | B) = 0,9 × 0,01 ÷ 0,0981 = 9,17 %.
- Si das negativo, la probabilidad de estar enfermo baja al 0,11 %.
Solo un positivo de cada once es un enfermo de verdad. La prueba es útil, porque multiplica por nueve la probabilidad inicial, pero no basta para diagnosticar.
Por qué la intuición falla
Pensemos en 10.000 personas:
| Enfermas (100) | Sanas (9900) | |
|---|---|---|
| Prueba positiva | 90 | 891 |
| Prueba negativa | 10 | 9009 |
Hay 981 positivos y solo 90 son enfermos. Los falsos positivos ganan porque salen de un grupo enorme. Este error, olvidar la frecuencia de partida, se llama falacia de la tasa base y aparece en medicina, en juicios y en las noticias.
Otros usos
- Filtros antispam: calculan la probabilidad de que un correo sea spam según las palabras que contiene.
- Búsqueda y rescate: los equipos actualizan las zonas más probables a medida que se rastrean otras sin éxito.
- Justicia: una coincidencia de ADN de 1 entre un millón no significa que haya una probabilidad entre un millón de que el sospechoso sea inocente; depende de cuántos posibles culpables haya.
- Aprendizaje automático: los clasificadores bayesianos y muchas técnicas de inferencia se basan en esta regla.
Encadenar pruebas
La probabilidad a posteriori de una prueba se convierte en la a priori de la siguiente. Si tras el primer positivo (9,17 %) se hace una segunda prueba independiente con las mismas características y también sale positiva, la probabilidad sube a alrededor del 50 %. Por eso los cribados confirman los positivos con una segunda prueba.
En bachillerato y en la universidad, en España y en Latinoamérica, el teorema suele presentarse con diagramas de árbol, que son otra forma de hacer esta misma cuenta.