Resolver un triángulo
Resolver un triángulo es hallar sus tres lados y sus tres ángulos a partir de tres datos, de los que al menos uno debe ser un lado. Cuando el triángulo no es rectángulo, Pitágoras ya no basta y entran en juego dos herramientas de la trigonometría: el teorema del coseno y el teorema del seno.
Teorema del coseno
c² = a² + b² − 2ab cos C
Generaliza el teorema de Pitágoras: si C = 90°, el coseno vale 0 y queda c² = a² + b². Sirve cuando se conocen dos lados y el ángulo que forman, o los tres lados (despejando el coseno).
Teorema del seno
a ÷ sen A = b ÷ sen B = c ÷ sen C = 2R
Donde R es el radio de la circunferencia circunscrita. Sirve cuando se conocen dos ángulos y un lado; el tercer ángulo sale de que los tres suman 180°.
Ejemplo con dos lados y el ángulo comprendido
a = 5, b = 7 y C = 60°.
- c² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 39, así que c = 6,245.
- El ángulo A se obtiene del teorema del coseno despejado: A = 43,90°.
- B = 180° − 60° − 43,90° = 76,10°.
- Área = ½ × a × b × sen C = ½ × 5 × 7 × 0,866 = 15,16.
- Perímetro = 5 + 7 + 6,245 = 18,245.
Ejemplo con dos ángulos y el lado común
A = 40°, B = 60° y c = 10. Entonces C = 80° y, por el teorema del seno, a = 10 × sen 40° ÷ sen 80° = 6,527 y b = 10 × sen 60° ÷ sen 80° = 8,794.
Aplicaciones
- Topografía: medir la distancia entre dos puntos separados por un obstáculo, como un río, desde un tercer punto accesible.
- Navegación: calcular la distancia recorrida combinando rumbos y distancias.
- Construcción: comprobar la longitud de una diagonal o el ángulo de una cubierta a partir de las medidas en obra.
El caso ambiguo
Con dos lados y un ángulo no comprendido entre ellos (lado-lado-ángulo), el teorema del seno puede dar dos triángulos distintos, uno o ninguno. Para evitar esa ambigüedad, la calculadora trabaja con el ángulo comprendido entre los dos lados o con el lado comprendido entre los dos ángulos.
Consejos
- Los ángulos van en grados. Comprueba que la suma de los dos ángulos conocidos es menor de 180°.
- La unidad de los lados es libre (cm, m, km): el resultado sale en la misma unidad y el área en esa unidad al cuadrado.
- La tabla muestra cómo crece el tercer lado al abrir el ángulo C con los mismos a y b.