Las seis razones trigonométricas
En un triángulo rectángulo, la trigonometría relaciona cada ángulo con los cocientes entre los lados:
- seno = cateto opuesto ÷ hipotenusa
- coseno = cateto contiguo ÷ hipotenusa
- tangente = cateto opuesto ÷ cateto contiguo = sen ÷ cos
Para recordarlo, muchos estudiantes usan la regla inglesa SOH CAH TOA (Sine = Opposite ÷ Hypotenuse, Cosine = Adjacent ÷ Hypotenuse, Tangent = Opposite ÷ Adjacent). Las otras tres razones son sus inversas: cosecante = 1 ÷ sen, secante = 1 ÷ cos y cotangente = 1 ÷ tg. Con la circunferencia goniométrica, estas definiciones se amplían a cualquier ángulo, negativo o mayor de 360°.
Grados y radianes
Una vuelta completa son 360° o 2π radianes. Para convertir:
- radianes = grados × π ÷ 180
- grados = radianes × 180 ÷ π
Así, 30° = π/6 ≈ 0,5236 rad, 90° = π/2 y 180° = π. En 4.º de la ESO se trabaja sobre todo en grados y en Bachillerato aparecen los radianes. Tener la calculadora en el modo equivocado (DEG o RAD) es el error más frecuente.
Ejemplo resuelto: 30°
- sen 30° = 0,5
- cos 30° = √3 ÷ 2 ≈ 0,866025
- tg 30° = 0,5 ÷ 0,866 ≈ 0,577350
- cosec 30° = 2, sec 30° ≈ 1,154701 y cotg 30° ≈ 1,732051.
- En radianes, 30° son 0,523599.
Ángulos notables
| Ángulo | sen | cos | tg |
|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 1 | 0 |
| 30° | 1/2 | √3/2 ≈ 0,866 | √3/3 ≈ 0,577 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,707 | √2/2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 | √3 ≈ 1,732 |
| 90° | 1 | 0 | no definida |
| 180° | 0 | −1 | 0 |
Signos según el cuadrante
La calculadora reduce el ángulo a un valor entre 0° y 360°. En el primer cuadrante (de 0° a 90°) todas las razones son positivas. En el segundo (de 90° a 180°) solo el seno; en el tercero (de 180° a 270°) solo la tangente; y en el cuarto (de 270° a 360°) solo el coseno.
Fórmulas útiles
- sen² x + cos² x = 1 (la relación fundamental)
- tg x = sen x ÷ cos x
- sen(90° − x) = cos x
- sen(2x) = 2 sen x cos x
- 1 + tg² x = 1 ÷ cos² x
Aplicaciones prácticas
- Altura de un árbol o de un edificio: altura = distancia × tg(ángulo de elevación). A 20 m y con 35°, la copa está 20 × 0,700 = 14 m por encima de tus ojos.
- Rampas y tejados: una pendiente de ángulo x sube tg x por cada unidad recorrida en horizontal. El Código Técnico limita las rampas accesibles a un 10 % en tramos cortos, unos 5,7°.
- Fuerzas: un tirón de 100 N inclinado 30° tiene una componente horizontal de 100 × cos 30° = 86,6 N.
- Topografía y navegación: con un ángulo y una distancia se calculan posiciones sin medir directamente, como se hace en una triangulación.
Errores frecuentes
- Confundir el cateto opuesto con el contiguo: dependen del ángulo que estés mirando.
- Olvidar que la hipotenusa siempre es el lado más largo y está enfrente del ángulo recto.
- Usar el seno inverso (sen⁻¹ o arcsen) cuando se quiere el seno, o al revés.