Cuando algo crece un porcentaje fijo
Una cantidad crece de forma exponencial cuando aumenta el mismo porcentaje en cada periodo, no la misma cantidad. Así se comportan los ahorros con interés compuesto, una población, el inicio de una epidemia o la subida de los precios. Si el porcentaje es negativo, la cantidad baja del mismo modo: el decrecimiento exponencial describe la depreciación de un coche, la desintegración radiactiva o la eliminación de un fármaco del organismo.
Las fórmulas
- Modelo discreto: P(t) = P₀ × (1 + r)ᵗ, con r la tasa por periodo en tanto por uno. Es una progresión geométrica de razón 1 + r.
- Modelo continuo: P(t) = P₀ × e^(r × t).
- Tiempo de duplicación: ln(2) ÷ ln(1 + r) en el discreto y ln(2) ÷ r en el continuo.
- Vida media, si la cantidad baja: ln(2) ÷ |ln(1 + r)|.
- Regla del 70: tiempo de duplicación ≈ 70 ÷ tasa en porcentaje. En finanzas se usa mucho la regla del 72, algo más precisa para tasas del 6 al 10 %.
Ejemplo resuelto: 1000 que crece un 5 % por periodo
- Tras 10 periodos: 1000 × 1,05¹⁰ = 1628,89, una subida del 62,89 %.
- Tiempo de duplicación: ln 2 ÷ ln 1,05 = 14,21 periodos.
- La regla del 70 da 70 ÷ 5 = 14, y la del 72, 14,4: dos buenas estimaciones mentales.
- Con crecimiento continuo al 5 % se llegaría a 1000 × e^0,5 = 1648,72.
Evolución en el tiempo al 5 %
| Periodos | Valor | Variación total |
|---|---|---|
| 1 | 1050,00 | 5,00 % |
| 5 | 1276,28 | 27,63 % |
| 10 | 1628,89 | 62,89 % |
| 20 | 2653,30 | 165,33 % |
| 30 | 4321,94 | 332,19 % |
| 50 | 11.467,40 | 1046,74 % |
Entre el periodo 10 y el 20 se ganan unos 1024, mucho más que los 629 de los diez primeros. Esa aceleración es lo que hace tan potente el crecimiento exponencial, y tan fácil de subestimar.
Decrecimiento y vida media
Para una bajada, introduce una tasa negativa. Un coche que pierde un 15 % de su valor al año conserva un 85 % cada año: a los 5 años queda 0,85⁵ = 44 % del precio, y su valor se reduce a la mitad cada ln 2 ÷ |ln 0,85| = 4,3 años. Los elementos radiactivos se describen por su vida media: el carbono 14, que se usa para datar restos arqueológicos, se reduce a la mitad cada 5730 años.
¿Discreto o continuo?
El modelo discreto aplica el porcentaje una vez por periodo, como unos intereses que se cobran al final de cada año. El continuo capitaliza en cada instante y, con la misma tasa, da un resultado algo mayor. La calculadora muestra la tasa continua equivalente: un 5 % por periodo equivale a un 4,879 % continuo.
Los límites del modelo
Pocas cosas crecen de forma exponencial durante mucho tiempo. Las poblaciones se quedan sin recursos y los mercados se saturan, lo que da curvas en forma de S, llamadas logísticas. Usa las proyecciones exponenciales para horizontes cortos o como límite superior, y desconfía de cualquier previsión que suponga un crecimiento del 20 % anual durante décadas.
Aplicaciones habituales
- Ahorro e inversión: calcular cuánto valdrá un capital con una rentabilidad fija.
- Inflación: con un IPC del 3 % anual, los precios se duplican en unos 23 años.
- Demografía: proyectar una población con una tasa de crecimiento constante.
- Biología: el crecimiento de un cultivo de bacterias en su fase inicial.