La división entera
Cuando un número entero no divide exactamente a otro, la división deja un resto. La división entera (o euclídea) expresa cualquier dividendo D y cualquier divisor d distinto de cero como D = d × c + r, donde c es el cociente y r el resto, con 0 ≤ r < |d|. Es la división «con caja» que se aprende en primaria, y también la operación «módulo» que se usa en programación, en los calendarios y en los relojes.
Ejemplo resuelto: 47 entre 5
- ¿Cuántas veces cabe 5 en 47? 9 veces, porque 5 × 9 = 45.
- Resto: 47 − 45 = 2.
- Prueba: 47 = 5 × 9 + 2, con cociente 9 y resto 2.
- En forma decimal, 47 ÷ 5 = 9,4; en fracción, 47/5 = 9 + 2/5.
Números negativos y lenguajes de programación
Con números negativos hay varias convenciones:
- División euclídea: el resto siempre es positivo. −7 = 5 × (−2) + 3, así que el resto es 3.
- División truncada: la del operador % en C, C++, Java y JavaScript. Redondea el cociente hacia cero, y −7 % 5 = −2.
- División por defecto (floor): la del operador % de Python y la función RESIDUO de Excel y LibreOffice. El resto tiene el signo del divisor: −7 % 5 = 3, y 7 % −5 = −3.
La calculadora muestra los tres resultados para que compruebes lo que devolverá tu código.
Resultados para otros dividendos (divisor 5)
| Dividendo | Cociente | Resto | Decimal |
|---|---|---|---|
| −7 | −2 | 3 | −1,4 |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 7 | 1 | 2 | 1,4 |
| 47 | 9 | 2 | 9,4 |
| 100 | 20 | 0 | 20 |
| 365 | 73 | 0 | 73 |
La letra del DNI
El ejemplo más español del resto es la letra del DNI. Se divide el número entre 23 y el resto, de 0 a 22, indica la letra en la secuencia TRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE. Para el número 12345678: 12.345.678 = 23 × 536.768 + 14, y la letra en la posición 14 (empezando en 0) es la Z. Así se detecta un número mal tecleado. El NIE usa el mismo sistema, cambiando antes la X, Y o Z inicial por 0, 1 o 2.
El resto en el día a día
- Envasar: 47 huevos en hueveras de 6 llenan 7 hueveras y sobran 5.
- Calendario: 100 días después de un lunes es miércoles, porque 100 = 7 × 14 + 2.
- Reloj: 30 horas después de las 9:00 son las 15:00 del día siguiente, porque (9 + 30) módulo 24 = 15.
- Par o impar: un número es par cuando su resto al dividir entre 2 es 0.
- Criterios de divisibilidad: un número es divisible entre 3 o entre 9 cuando la suma de sus cifras lo es.
- Cuentas bancarias: los dígitos de control del IBAN se calculan con el módulo 97 para detectar errores al copiar el número.
Resto y fracciones
El resto dividido entre el divisor da la parte decimal: 2 ÷ 5 = 0,4. Para saber si d divide a D, basta con comprobar que el resto es cero; se dice entonces que D es múltiplo de d. La división entre 0 no está definida, y la calculadora no admite un divisor nulo.