La recta que pasa por dos puntos
Dos puntos A(x₁, y₁) y B(x₂, y₂) del plano definen una recta. Con sus coordenadas basta para hallar la inclinación de esa recta, su ecuación, los puntos donde corta a los ejes, la distancia AB y el punto medio del segmento AB. Son las fórmulas básicas de la geometría analítica que se estudian en 4.º de la ESO y en 1.º de Bachillerato, y se usan también en cartografía, diseño gráfico y topografía.
Las fórmulas
- Pendiente: m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁), la variación de las ordenadas entre la variación de las abscisas.
- Ordenada en el origen: n = y₁ − m × x₁, lo que da la ecuación explícita y = mx + n.
- Corte con el eje X: −n ÷ m, donde la recta cruza el eje de abscisas.
- Distancia: d(A, B) = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), por el teorema de Pitágoras.
- Punto medio: ((x₁ + x₂) ÷ 2, (y₁ + y₂) ÷ 2).
- Ángulo con el eje X: arctg(m); pendiente en porcentaje = m × 100.
Ejemplo resuelto: A(1, 2) y B(4, 6)
- Variación de las abscisas: 4 − 1 = 3; de las ordenadas: 6 − 2 = 4.
- Pendiente: 4 ÷ 3 = 1,3333.
- Ordenada en el origen: 2 − 1,3333 × 1 = 0,6667, así que y = 1,3333x + 0,6667.
- Distancia: √(9 + 16) = 5.
- Punto medio: (2,5; 4).
- Ángulo: arctg(1,3333) = 53,13°, una pendiente del 133,33 %.
- La recta corta el eje X en x = −0,5.
Cómo interpretar la pendiente
| Pendiente | Recta |
|---|---|
| Positiva | sube de izquierda a derecha |
| Negativa | baja de izquierda a derecha |
| Cero | horizontal, de ecuación y = constante |
| No definida | vertical, de ecuación x = constante |
Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente, y perpendiculares cuando el producto de sus pendientes es −1: la perpendicular a una recta de pendiente 4/3 tiene pendiente −3/4. El vector AB = (3, 4) es un vector director de la recta, y con él se obtienen también la ecuación vectorial y la continua: (x − 1) ÷ 3 = (y − 2) ÷ 4.
Hallar un extremo
Si conoces un extremo A y el punto medio M, el otro extremo es B = 2M − A: x₂ = 2 × x_M − x₁ e y₂ = 2 × y_M − y₁.
Aplicaciones prácticas
- Carreteras y rampas: una carretera que sube 6 m en 100 m tiene una pendiente de 0,06, es decir, un 6 %. Es el porcentaje que muestran las señales de pendiente pronunciada.
- Tasa de variación: en una gráfica de distancia frente a tiempo, la pendiente entre dos puntos es la velocidad media.
- Mapas: en un plano cuadriculado, la fórmula de la distancia da la distancia en línea recta. Con coordenadas GPS y distancias largas hay que tener en cuenta la curvatura de la Tierra.
- Economía: la pendiente entre dos puntos de una gráfica de costes indica el coste adicional por cada unidad producida.