Qué es un vector
Un vector es una magnitud con módulo, dirección y sentido, como una fuerza, una velocidad o un desplazamiento. En el plano se describe con dos coordenadas (x, y) y en el espacio con tres (x, y, z). Las operaciones con vectores son la base de la física, de la geometría analítica y de los gráficos 3D.
Módulo
El módulo es la longitud del vector:
|u| = √(x² + y² + z²)
El vector (3, 4) tiene módulo √(9 + 16) = 5.
Producto escalar
u · v = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = |u| |v| cos θ
El resultado es un número, no un vector. Si es positivo, el ángulo entre los vectores es agudo; si es negativo, obtuso; si es cero, son perpendiculares. Despejando se obtiene el ángulo:
θ = arccos(u · v ÷ (|u| |v|))
Producto vectorial
Solo existe en el espacio:
u × v = (y₁z₂ − z₁y₂, z₁x₂ − x₁z₂, x₁y₂ − y₁x₂)
Es un vector perpendicular a u y a v, cuyo sentido sigue la regla de la mano derecha (o del sacacorchos) y cuyo módulo es el área del paralelogramo que forman. En el plano, la calculadora toma z = 0 y el producto vectorial solo tiene componente z.
Ejemplo resuelto
u = (3, 4) y v = (5, 0):
- |u| = 5 y |v| = 5.
- u · v = 3 × 5 + 4 × 0 = 15.
- cos θ = 15 ÷ 25 = 0,6, así que θ = 53,13°.
- Producto vectorial: (0, 0, 3 × 0 − 4 × 5) = (0, 0, −20); el paralelogramo tiene área 20.
- Proyección de u sobre v: 15 ÷ 5 = 3, la sombra de u sobre el eje de v.
Aplicaciones en física
- Trabajo: W = F · d, el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento. Solo cuenta la componente de la fuerza en la dirección del movimiento.
- Momento de una fuerza: M = r × F, un producto vectorial que da el par de giro.
- Fuerza de Lorentz: F = q v × B, sobre una carga que se mueve en un campo magnético.
Consejos
- Dos vectores son paralelos si su producto vectorial es nulo, y perpendiculares si lo es su producto escalar.
- El producto vectorial no es conmutativo: v × u = −(u × v).
- La proyección es negativa cuando el ángulo supera los 90°: u apunta en sentido contrario a v.