Qué es el determinante
El determinante es un número asociado a toda matriz cuadrada. Indica si la matriz tiene inversa, si un sistema de ecuaciones tiene solución única y cuánto amplía o reduce las áreas o volúmenes la transformación que representa. Es uno de los primeros conceptos del álgebra lineal de bachillerato y de primer curso de ingeniería.
Matriz 2×2
Para la matriz (a b ; c d):
det = a d − b c
Y si el determinante no es cero, la inversa es:
A⁻¹ = (1 ÷ det) × (d −b ; −c a)
Por ejemplo, para (2 1 ; 0 −1), det = 2 × (−1) − 1 × 0 = −2, y la inversa es (0,5 0,5 ; 0 −1).
Matriz 3×3: regla de Sarrus
Se suman los productos de las tres diagonales descendentes y se restan los de las tres ascendentes:
det = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ − a₁₃a₂₂a₃₁ − a₁₁a₂₃a₃₂ − a₁₂a₂₁a₃₃
Con la matriz por defecto (2 1 3 ; 0 −1 4 ; 1 2 5):
- diagonales descendentes: 2 × (−1) × 5 + 1 × 4 × 1 + 3 × 0 × 2 = −10 + 4 + 0 = −6
- diagonales ascendentes: 3 × (−1) × 1 + 2 × 4 × 2 + 1 × 0 × 5 = −3 + 16 + 0 = 13
- determinante: −6 − 13 = −19
La traza es 2 − 1 + 5 = 6.
Propiedades útiles
- Si una fila o columna es toda ceros, o dos filas son iguales o proporcionales, el determinante es 0.
- Intercambiar dos filas cambia el signo del determinante.
- det(A × B) = det(A) × det(B), y det(Aᵀ) = det(A).
- Multiplicar una fila por k multiplica el determinante por k.
Interpretación geométrica
En el plano, una matriz 2×2 transforma el cuadrado unidad en un paralelogramo cuya área es |det|. En el espacio, una 3×3 transforma el cubo unidad en un paralelepípedo de volumen |det|. Un determinante negativo indica que la orientación se invierte, como en un espejo, y uno nulo que la figura se aplasta en una recta o un plano: por eso la matriz no se puede invertir.
Consejos
- Para una matriz 4×4 o mayor, desarrolla por la fila o columna con más ceros (desarrollo de Laplace) o triangula por Gauss.
- La traza es la suma de los valores propios y el determinante su producto, un buen control de cálculos más avanzados.
- La inversa solo se muestra para 2×2; para 3×3, usa la matriz adjunta traspuesta dividida entre el determinante.