Qué es una raíz
La raíz n-ésima de un número x es el valor que, multiplicado por sí mismo n veces, da x. La raíz cuadrada (n = 2) de 49 es 7 porque 7 × 7 = 49; la raíz cúbica (n = 3) de 27 es 3 porque 3 × 3 × 3 = 27. El número de dentro se llama radicando y n, índice.
Raíz y potencia
Toda raíz se puede escribir como una potencia de exponente fraccionario:
ⁿ√x = x^(1/n)
Así se calcula en cualquier calculadora científica o en una hoja de cálculo: =POTENCIA(50;1/2) o =50^(1/3). Esta forma también simplifica operaciones: √x × √x = x^(1/2 + 1/2) = x.
Ejemplo resuelto
La raíz cuadrada de 50:
- 7² = 49 y 8² = 64, así que la raíz está entre 7 y 8, mucho más cerca de 7.
- √50 ≈ 7,0710678.
- Como 50 = 25 × 2, se simplifica: √50 = √25 × √2 = 5√2.
La calculadora muestra también los cuadrados perfectos más cercanos, 49 y 64, para situar el resultado.
Raíces de números negativos
- Con índice impar, sí hay raíz real: ∛−8 = −2, porque (−2)³ = −8.
- Con índice par, no: ningún número real elevado al cuadrado da un resultado negativo. √−4 no existe en los reales; en los complejos vale 2i.
Cuadrados y cubos perfectos
| n | n² | n³ |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 8 |
| 3 | 9 | 27 |
| 4 | 16 | 64 |
| 5 | 25 | 125 |
| 10 | 100 | 1000 |
| 12 | 144 | 1728 |
Aplicaciones prácticas
- Geometría: el lado de un cuadrado de 50 m² mide √50 = 7,07 m, y la diagonal de una pantalla sale de Pitágoras.
- Volúmenes: el lado de un cubo de 1000 litros (1 m³) mide 1 m; uno de 500 litros, ∛0,5 = 0,794 m.
- Finanzas: la tasa media anual de una inversión que se ha duplicado en 5 años es ⁵√2 − 1 = 14,87 %.
- Estadística: la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza.
Consejos
- Para estimar de cabeza una raíz cuadrada, busca los dos cuadrados perfectos que la rodean y reparte la diferencia.
- La comprobación eleva el resultado a n: si no devuelve exactamente el radicando, la raíz es irracional y la calculadora la redondea.